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8個人，並且得到算式16/8=2，也就是除法，整數對除法是不封閉的，比如2/3，得到的就不是整數，於是我們把數的範圍擴充到有理數。”
“我知道你們更習慣把這個叫做分數，但是我更喜歡叫有理數，所以記下這個詞然後以後你們就知道它代表什麼了。”
“在這裡我們對有理數進行一個定義，我們把有理數定義為p/q，其中pq是互質的整數，q為正整數，p為整數。”
“有理數的範圍足夠我們做大多數運算了，但是它並不囊括了所有數。”
“比如經典的根號2，我們來證明一下，根號2不為有理數，也就是說，根號二沒法表示成分數。”
“我們採用一個反證法。”
“假設根號2可以表示為形式為p/q的有理數，其中pq是互質整數，那麼我們可以得到一個等式p?=2q?。”
“我再次強調一遍，我們假設了p，q都是整數，那麼這種情況下，p必不能為奇數，因為奇數的平方里不可能有2這個因數，對嗎？”
“所以我們推出，p為偶數，偶數可以表示為2k，其中k為整數。”
“於是我們又得到了一個等式，2k?=q?，同理可得，q為偶數。”
“也就是說，從根號2是有理數這個前提，我們可以推出這樣一個結果，p和q擁有一個共同的因數2，而這違背了最初的假設pq互質，由此可得這個前提條件是錯誤的。”
“根據類似的思路我們還可以證明根號3，根號12是無理數。”
“然後在這裡，我要第一次引入無窮的概念，我現在畫一條線段，這條線段的起點是0，終點是1，也就是它是一段長度為1的有限長的線段。”
“那麼請思考這樣一個問題，如果我要從0走到1，那麼我得先走到0和1的中點1/2，如果我要從0走到1/2，那麼我就需要先走到0和1/2的中點1/4，而這個過程是可以無限繼續下去的，你們看到問題所在了嗎？”
“第二個例子，依舊是這條線段，我把它豎起來，然後我再在它的旁邊畫一條傾斜一點的線段，有點像直角三角形的高和斜邊長，對吧。”
“這兩條線段的長度明顯是不想等的，但是我們可以將上面的點一一對應起來，橫著連線，對，假設，線段是由一個一個可數的點構成的，那麼我們就會得到一個荒謬的結論，也就是這兩條線段是相等的。”
“但是我們知道它們倆是不相等的
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